Application des propriétés algébriques pour le calcul de modules - Corrigé

Énoncé

Déterminer le module des complexes suivants.

1.  $z_1=(5+2i)(10-3i)$     

2.  $z_2=(1-4i{)}^5$   

3.  $z_3=\frac{2i-\sqrt{5}}{3-4i}$

Solution

1.  On a : $\begin{array}{r}\left|z_1\right|=|(5+2i)(10-3i)|=|5+2i|\times |10-3i|\end{array}$
or $|5+2i|=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$
et $|10-3i|=\sqrt{{10}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{100+9}=\sqrt{109}$
donc $\left|z_1\right|=\sqrt{29}\times \sqrt{109}=\sqrt{3161}$ .  

2.  On a : $\begin{array}{r}\left|z_2\right|=|(1-4i{)}^5|={|1-4i|}^5\end{array}$
or $|1-4i|=\sqrt{1^2+(-4{)}^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$
donc  $\left|z_2\right|={\left(\sqrt{17}\right)}^5$ .

3.  On a : $\begin{array}{r}\left|z_3\right|=\left|\frac{2i-\sqrt{5}}{3-4i}\right|=\frac{|2i-\sqrt{5}|}{|3-4i|}\end{array}$
or $|2i-\sqrt{5}|=\sqrt{(-\sqrt{5}{)}^2+2^2}=\sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3$
et $|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
donc  $\left|z_3\right|={\displaystyle \frac{3}{5}}$ .